什么是数学模型和数学建模(数学建模的七个步骤)

 2022-04-01 08:55:49    101  

本文节选指《数学建模教学与评估指南》一书,上海大学出版社。本书旨在为学校加强数学核心素养及数学建模的教与学提供助力。

在学生的数学教育过程中,“模型”一词被用在很多方面,例如教具模型、演示模型、角色模型以及数学概念模型,这些都是对教与学非常有帮助的工具。然而,它们与数学建模的实践是不同的。无论是在职场还是在学校,数学建模指的是使用数学来回答庞大、繁杂并基于现实的问题。在本书中,我们跟同事们——无论您是教师、主管还是师范教育工作者——来分享我们在课堂上的经验,让大家看到,经过教师的适当协助,学生们是能够参与到真正的数学建模活动中的,并使用数学来解答他们认为有意义的以及对他们未来发展有增益的问题。

本书的作者坚信,数学建模应当在学生数学教育的每一阶段都被教授。不然,为何社会给我们那么多时间进行数学教学?某种程度上是因为数学本身很重要,但更大程度上是因为数学在处理数学世界以外的问题方面意义重大。当然,当学生从学校走进工作环境时,数学是能够帮到他们的;并且数学还能够在日常生活中帮助他们,并使他们成为有见地的公民。学生具有数学建模经验是至关重要的,因为随着年级的提高,这经验使他们广泛接触到各种各样的问题——如何确定某个州的平均降雨量?消防站位于哪里最好?什么是公平的投票制度?如何能使得沿着楼梯悬挂的图片看上去是直的?正如我们在本书随后章节中所表明的,学生们能够学习并且领会到建模在他们所有教育阶段中的重要性。

在下面几个部分我们将提供一些示例说明建模是什么以及不是什么。我们将给出一个更详尽的数学建模的定义,但是先以一个简明扼要的形式来描述它:


数学建模是一个过程,它应用数学对现实世界的现象进行表达、分析、预测或进行其他方式的深入探究。

我们找到的大多数简短定义都强调这个最重要的方面,即建模和我们周遭世界的关系:

— 用数学的语言量化现实世界的现象并分析其行为。

— 使用数学探索和发展我们对现实世界问题的理解。

— 在问题的迭代求解过程中,数学被用于调查研究,并发展更深层次的理解。

让我们考虑一下如何将这些转化成课堂语言。

数学建模能够用于激励课程要求,并且在解答重要问题时能够突出数学的重要性和相关性。它还能帮助学生获得通用技能,如跨学科的思维习惯。我们将在下面部分给出更精确的数学建模定义,目前我们聚焦于如何通过举例的方式将数学建模的元素纳入现有的课程中,而仅对熟悉的应用题做略微改动。

学前教育-8年级阶段

在这个例子中,学生们正在学习加法技巧。如果抛开应用,可以向学生提出这样一个加法问题“计算6+3的和”。而一道应用题则会添加一些标签,会这样问学生:“如果Jim有6块椒盐卷饼,Suzy有3块,那么他们加起来一共有多少?”

虽然这道应用题把物品与加法联系了起来,但它并不是一个建模问题,理由有二:首先,对学生来说它没有内在的价值或意义。除了为了完成家庭作业而解答这个问题,学生们为何要关心Jim和Suzy有多少椒盐卷饼呢?其次,这道应用题自始至终都是封闭的。尽管学生们可以用几个不同的方式解答这个问题,例如画图计数或写一个算数表达式并求值,但所有必要的数据都是明确给定的,并且仅有一个正确解。

让我们探讨一下如何将这个应用题转换成一个数学建模问题,却仍然使学生能够参与到整数加法运算当中。为了让学生更好地融入情境,您可以让学生们想象他们正在为各自的家庭准备野餐,并且他们得决定需要准备多少椒盐卷饼。学生们将需要考虑很多事情并问他们自己很多问题。家里有多少人?其中多少人将会参加野餐?每个人可能想吃多少椒盐卷饼?要考虑有人有饮食限制吗?野餐中还有多少其他食物?

学生们将需要对问题情境做出假设,他们在上述问题上的努力至关重要,将改变问题的答案。不过,当他们回答了这些问题并作出假设后,他们仍然必须完成整数加法。这样便有了一个小小的变化,让学生对情境进行思考,并决定“什么数要相加”,甚至是“有多少数要相加”,这样便将一个封闭的问题变成了一个开放式问题。修订后的问题不但将学生引入到了问题情境当中,而且达到了同样的数学教学目标。

高中阶段

在本例中,学生将学习如何利用给出的斜率与纵截距写方程并作图。一个不涉及实际应用的问题也许是:让学生用斜率2和纵截距100画一条线,然后写出这条线的方程。

朝着建模迈出的第一步,或许是将问题情境化:

Emily在一家零售店工作,零售店每周付给她100美元,每卖出一件货品外加2美元。写出一个线性方程,并作图,表示Emily的周收入与她一周所卖出商品数的关系。

有的学生读到这个问题可能会问:“我为什么要作这个图?”在这种情况下,把数学情境化的尝试可能实际上让数学工作显得无关紧要。

我们可以稍作如下改动,便可以把这个问题转换成一个更加开放且更有意义的问题:

节日将至,你最好的朋友Karen想挣一些钱去买礼物。她找到的第一份工作的薪水是比最低工资多2美元/小时,另一份工作是付给她的薪水是最低工资的一半,外加每卖出一件货品2美元佣金。哪一份工作更好呢?为了有助于Karen理解你的分析,要包括一个有用的表述,从而帮助她作出决定。

学生将必须做一些准备工作来回答这个问题。他们可能需要查找最低工资,他们还将得考虑“收支平衡”点——他们的朋友每小时必须卖掉多少货品才能挣到最低工资。然后他们还需考虑Karen是不是有可能卖出那么多商品,而这可能取决于商品本身以及Karen的个性。研究情境并进行假设是数学建模的要素。

但是尽管那样也不足以让学生回答这个问题。风险趋避型的学生可能会建议Karen选择第一份工作,因为这份工作是体面且有保证的。相反,喜欢冒险的学生则可能会建议她选择第二份工作,因为这可能会有机会挣更多的钱。决定收支平衡点仅是这个问题的一个方面而已,学生还得思考在面对不确定性时如何决策。他们的观点至关重要,并且将影响到这个问题的解答。他们仍然需要用同样的数学模型去解答这个问题,但不得不根据实际调整自己的答案,这使得数学变得更有现实关联性且更有趣。就影响因素作出判断并评估解决方案的质量也是数学建模的组成部分。

大学本科阶段

早在第一学期的微积分课上,同学们通常要学习如何用差商[f(x + h) – f(x)]/h 来近似导数,用逐渐减少步长h的方式来计算。比如,假定学生已经掌握了差商的概念,课本上可能会给出如下问题:

用求差商的方法,近似求解函数 f(x) = xex 在x = 2时的导数,令h = 0.1、h = 0.01、h = 0.001。

我们可以通过增加情境将这类问题转变成应用题。甚至可以提供一些如下基于真实数据的信息:

气温递减率可以帮助识别不稳定气流,这对无人机的飞行尤其重要,气温递减率被定义为温度随海拔的增加而降低的速率,或表示为 γ=–dT/da,这里T是温度,a是高度。已经测得位于阿肯色州小石城上空典型的十月份某天的大气温度,由下面的函数近似给出:

T(a)= 24.3 – 5.81a + 0.295a – 0.057a + 0.0024a5+ 0.006cos(a),

这里T的单位是摄氏度,a是公里。

当h = 0.1、h = 0.01和h = 0.001时,用求差商的方法近似求解11公里高度的气温递减率。

尽管这道应用题提供了一个情境,但是这个问题并没有给学生任何机会将他们的分析放回到情境中去,从而解决更大一些的问题。这个问题仍然是一个封闭问题。一个数学建模问题应该迫使学生在求解过程中能积极主动做一些决策。下面便是一个方法,可以将上面的应用题修改成数学建模问题,并且仍然让学生学习使用差商来近似求导的思想:

气温递减率可以帮助识别不稳定气流,这对无人机的飞行尤其重要,气温递减率被定义为温度随海拔高度的增加而降低的速率,表示为 γ=–dT/da,这里T表示温度,a表示高度。已经测得位于阿肯色州小石城上空某个典型十月份日子的大气温度,由下面的函数近似给出:

T(a)= 24.3 – 5.81a + 0.295a – 0.057a + 0.0024a5+ 0.006cos(a),

这里T的单位是摄氏度,a的单位是公里。

你需要评估无人机在小石城上空执行监控任务的安全性。假定这个无人机在城市上空大约11公里的高度飞行,而且它只要在9公里至15公里海拔高度之间飞行都可以完成这个任务。如果气温递减率小于6°C/km,你的无人机就绝对可以安全飞行;如果超过8°C/km,出于安全考虑你的无人机必须马上降落。利用你所掌握的关于差商的知识来评价这个任务的安全性,并给你的上级提供一整套建议,其中包括你完成分析所作的一切假设。

与应用题不同,这道建模版本的题目并没有告诉学生h的取值是什么,他们必须自己选择一个合理的h值。也许在探索不同取值的过程中,他们会吸收这样的思想,即近似值会随着h的减少而更逼近真实值,这有助于他们更好地理解导数的极限定义。

这道建模版问题也让学生将他们的数学结果放在无人机任务的情境中作出解释,同时基于这些数学结果得出结论,作出建议。当他们得出的数学结论落在安全与不安全区域之间时,他们就需要作出如何继续进行的决策,譬如,为这个任务探索其他可能的高度。不管学生做出怎样的决定,他们都必须去验证他们的决定,这就要求他们真正成为数学过程的主人,通过这个过程得到最终结论。

正如上面三个不同教育阶段的例子所表明的,一个数学问题可以被转变成一个数学建模问题。重要的是,我们要看到仅添加标签,例如“椒盐卷饼”,是不足够的;也许没那么明显但同样重要的是,添加情境和意义比如“工作”和“工资,”或是“气温递减率”和“无人机”,依然不足够。一个建模问题必须同时提供给学生足够的空间,让他们来解释这个问题,并在解决问题的过程中有自己的抉择。数学问题的这些转变可如图1.1所示。

什么是数学模型和数学建模(数学建模的七个步骤)

本书的目的是要告诉大家数学建模是一个过程,这个过程是由以下部分组成的:

厘定问题

我们厘清确定现实世界中我们想要知道、做或理解的某种事物,其结果就是得到一个源于现实世界的问题。

做出假设并识别变量

我们在现实世界的问题中选择一些看上去比较重要的“对象”、识别它们之间的关系、并决定保留还是忽视哪些对象或者它们之间的关系,结果得到一个初始问题的理想化版本。

数学求解

我们将这个理想化版本转换成数学术语并得出理想化问题的数学公式。这个数学公式就是模型。我们进行数学运算和求解,看我们得到什么见解和结果。

分析并评估解决方案

我们这样考虑:它解决问题了吗?当把它转变回现实世界时是否合乎实际和情理?其结果是否实际、答案是否合理、后果是否可接受?

迭代

我们做必要的过程迭代,从而完善并扩展我们的模型。

实施模型

面向现实世界和实际应用,我们向他人报告我们的结论,并实施解决方案。

数学建模经常被描述成一个循环,因为我们常常需要返回到最初并重新做假设,以便更加接近可用的结果。不过,我们将用下图来表示数学建模过程,它反映了实践当中的事实,即建模者经常要在不同阶段来回跳跃。

什么是数学模型和数学建模(数学建模的七个步骤)

注意,上图所示的建模过程包含了周期性要素,同时,并非所有的箭头都是单向的。因此我们故意不使用“步骤”一词,同时也不对建模过程的要素进行编号。我们不希望隐含这样的意思,即存在一个有序的步骤让我们遵循,以此来保证我们找到建模问题的解决方案。恰恰相反,一些要素可能会同时发生,一些也可能会根据需要而反复发生。这种微妙我们将从下面的例子中略有所窥,其余究竟则将在附录的例子里着重阐述。

这就是本书通篇讨论中我们对数学建模的定义。然而,我们应记住,建模和建模教学还有艺术性的一面(第五章作更深入的讨论),这种艺术性是我们在不同年级段探索实施时,极其希望追求的。

也许讨论建模过程的组成的最好方式是举例。虽然在课堂上某些特定时间,我们可能会仅专注于数学建模过程的一些片段,但认识这些局部组成是怎样融入整个建模过程中是非常重要的。理解完整的建模过程如何工作,会让我们知道如何为学生提供支持,以便先让他们参与到一些小规模的数学建模过程。长远而言,我们是希望学生有能力利用建模思想去解决更庞大、更繁杂和更重要的现实世界问题,而他们的解答又会是对问题的解决起作用的。学生有能力完成建模过程中的单独部分的工作,这会帮助学生建立信心、相信自己的能力,当他们有机会要参与到完整的数学建模过程中时就不会一筹莫展。

有一个关键必须注意,那就是不能把示例问题用作所有的建模问题的模版。现实世界的问题并不都是如出一辙,所以无论是为我们自己还是为学生,我们能做的最好的方式便是注重过程,而不是只注意在这里展示的特定内容。在随后与年级相关的章节中,你可以找到更多适用于该年级水平的问题,也会找到一些关于你作为老师在整个过程中所担任的角色的讨论。

《数学建模教学与评估指南》

原著:美国数学及其应用联合会(COMAP),美国工业与应用数学学会(SIAM)

编译:梁贯成,赖明治,乔中华,陈艳萍

出版社:上海大学出版社

内容简介:本书英文版由美国工业与应用数学学会(SIAM)、美国数学及其应用联合会(COMAP)、美国全国数学教师协会(NCTM)联合推出,是影响美国数学教育、落实美国数学课程共同核心国家标准(CCSSM)的一部力作。中文版适值中国高中数学课程标准修订版即将颁布之际,本书的主要读者是教师,目的是向教师们展示如何在每一个年级引入数学建模,让学生在学习更多数学知识的同时,在更宽广的视野中看到数学一系列的重要应用。本书旨在为学校加强数学核心素养及数学建模的教与学提供助力。

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